2次方程式を習ったとき解の公式を覚えされられたと思います．
しかし，2次方程式の解を求める際，平方完成という1次の係数を消すテクニックを使うのですが，これは関数の概形を描くときに使ったりするので慣れておくと便利です．
また，公式を使っても使わなくてもかかる時間はほとんど変わらないので，正直公式を覚えるメリットはないと思っています．
まず，次のような2次方程式が与えられたときを考えます．
$$ax^2+bx+c=0\tag{1}$$
このとき方程式の解は解の公式を使うと以下のようになります．
$$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\tag{2}$$
これを平方完成を使って導出します．
目標は$$(x+?)^2+?=0\tag{3}$$の形にすることです．
2次方程式の解$x$の値を求めるときに困るのが，$x$の項と$x^2$の項があり，移項等をするだけでは$x=$の形にできないことです．そこで，$x$の項だけが存在するようにしたいので，(3)の形にするのを目標としました．この形にできると，後は移項して，括弧を外せば$x=$の形にできます．
そう思って(1)を見てみると，まず$a$が邪魔になります．そこで両辺を$a\neq0$で割ります．
$$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0\tag{4}$$
そして，ここがポイントなんですが，平方完成を行います．つまり目標の形にし，$x$の数(元々1次の項と2次の項がある)を減らします．
$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{c}{a}=0\tag{5}$$
(4)から(5)への変換は申し訳ないですが感覚です．でも，(5)を展開すると(4)になるのは分かると思うので，展開して(4)になるように，目標の形に持っていくという感じでやれば慣れてできるようになるはずです．
定数の項を移項して
$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\tag{6}$$
そして，2乗を外す（平方根を取る）と
$$x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\tag{7}$$
最後に$x=$の式にして
$$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\tag{8}$$
これは(2)と同じなので，導出できました．
次は，実際にこれを使って2次方程式を解いてみます．
[例] $$5x^2+7x+2=0$$
5で割って
$$x^2+\frac{7}{5}x+\frac{2}{5}=0$$
平方完成して
$$\left(x+\frac{7}{10}\right)^2-\left(\frac{7}{10}\right)^2+\frac{2}{5}=0$$
定数項を移項して
$$\left(x+\frac{7}{10}\right)^2=\frac{49-20\times2}{100}$$
2乗を外して，
$$x+\frac{7}{10}=\pm\frac{\sqrt{9}}{10}$$
$x=$の式にして，
$$x=\frac{-7\pm3}{10}=-1,-\frac{2}{5}$$
となり，解くことができました．
慣れるまではちょっと時間がかかるかもしれませんが，応用も利くようになるのでこれで解けるようにしておくのがおすすめです．
